Bismillah. Para ulama berbeda pendapat dalam masalah ini. Berikut penjelasannya:
Membaca Al-Qur'an Tanpa Menyentuh Mushaf
Jika membaca Al-Qur'an dengan hafalan atau melihat layar (HP/komputer) tanpa menyentuh mushaf, maka dibolehkan meskipun tidak berwudhu. Tidak ada dalil yang melarangnya.
Menyentuh Mushaf Al-Qur'an
Adapun menyentuh mushaf Al-Qur'an secara langsung, maka para ulama berbeda pendapat:
Pendapat pertama (jumhur ulama): Tidak boleh menyentuh mushaf kecuali dalam keadaan suci (berwudhu). Dalilnya adalah firman Allah ﷻ:
لَّا يَمَسُّهُ إِلَّا الْمُطَهَّرُونَ
"Tidak menyentuhnya kecuali orang-orang yang disucikan." (QS. Al-Waqi'ah: 79)
Juga hadits Rasulullah ﷺ dalam surat kepada Amr bin Hazm: "Tidak boleh menyentuh Al-Qur'an kecuali orang yang suci."
Pendapat kedua: Boleh menyentuh mushaf tanpa wudhu, dengan alasan ayat di atas berbicara tentang Lauhul Mahfuzh, bukan mushaf yang ada di tangan kita.
Kesimpulan
Yang lebih berhati-hati dan lebih sesuai dengan pendapat jumhur ulama adalah berwudhu terlebih dahulu sebelum menyentuh mushaf Al-Qur'an. Ini adalah bentuk penghormatan terhadap kalamullah. Wallahu a'lam.